Nornik, który przytula na pocieszenie Nornik preriowy (Microtus ochrogaster), gatunek małego gryzonia żyjącego w centralnej części Ameryki Północnej, już od dziesięcioleci budzi zainteresowanie badaczy. Norniki te są pod wieloma względami interesujące: wykazują zachowania społeczne i tworzą monogamiczne związki. Para wspólnie dba o gniazdo, razem wychowuje młode i spędza ze sobą bardzo dużo czasu, a przy tym dochowuje sobie wierności. Podejmowane jak dotąd badania nad nornikami preriowymi i ich kuzynami pomogły badaczom między innymi w lepszym zrozumieniu, jaką rolę w tworzeniu więzi pełnią hormony oksytocyna i wazopresyna.
Norniki preriowe wykazują się również rodzajem empatii i pocieszają swoich partnerów lub krewniaków, którym przytrafiło się coś nieprzyjemnego. Przeprowadzone eksperymenty wykazały, że jeśli na jakiś czas rozdzielało się blisko związane ze sobą norniki i wystawiało się jednego z nich na stresujące bodźce – to po ponownym połączeniu nornik, który nie doświadczył stresu, szybko próbował pocieszyć i uspokoić tego zestresowanego, przytulając się do niego, przeczesując i czyszcząc mu futerko.
Ponadto, jeśli nornik widział zestresowanego partnera lub krewniaka, ale nie mógł zbliżyć się do niego, żeby go pocieszyć, to on sam również zaczynał się stresować. Zdaniem badaczy, za tego rodzaju zachowania norników preriowych odpowiada działanie oksytocyny, często nazywanej „hormonem przywiązania”.
Co ciekawe, jeżeli dobrze pamiętam ze studiów ten sam gatunek ale żyjący w innych rejonach, (gdzie występuje izolacja geograficzna między dwoma populacjami), wykazuje mniejsza ilość oksytocyny i ten gatunek już nie wykazuje monogamii. Taki troche poszlaka jak bardzo jesteśmy niewolnikami naszych hormonów
Wczoraj, uraczyłem Was tym wpisem o odwzorowaniu logistycznym. Najwidoczniej, #niemraodfizy , Sabina, zgapiła pomysł i opublikowała 10 ciekawostek matematycznych na swoim kanale. Włączając w to odwzorowanie logistyczne.
No plagiat jak nic .
Na te matematyczne ciekawostki zakładam tag #dzikamatematyka, żeby można było blokować to nudziarstwo.
Messier 2 (M2, NGC 7089) to gromada kulista w gwiazdozbiorze Wodnika, odkryta 11 września 1746 roku przez Jeana-Dominique’a Maraldiego, a 14 lat później niezależnie przez Charlesa Messiera, który opisał ją jako mgławicę bez gwiazd. Dopiero William Herschel rozdzielił ją na pojedyncze gwiazdy. M2 liczy około 150 000 gwiazd skupionych w kuli o średnicy 175 lat świetlnych i znajduje się 55 000 lat świetlnych od Ziemi. Weik tego obiektu szacowany jest na około 13 miliardów lat.
Z mojej perspektywy ta historia zaczęła się w zamierzchłych czasach, cztery dekady temu. To portal starych ludzi, więc niektórzy z tutejszych bywalców spędzali wtedy czas na rzucaniu kamieniami w brontozaury pod czujnym i pamiętliwym okiem przyszłej premier Kopacz, inni próbowali ujeżdżać welociraptory, jeszcze inni łowili amonity. A ja? Wrzaski latających pterodaktyli mnie przerażały, więc czytałem sobie przy tłuszczowym kaganku magiczne znaki wydrapane na łupkowych płytach.
Jedną z książek, które straszliwie mnie wtenczas skrzywiły i spowodowały, że już nigdy nie spojrzałem na matematykę tak, jak przedtem, była ta o temacie dzisiejszej opowieści.
Wszystko zaczyna się niewinnie. Od pytania o to, jak opisać rozwój populacji. W XIX wieku belgijski matematyk Pierre François Verhulst próbował zrozumieć, jak rzeczywiście rosną populacje w świecie ograniczonych zasobów. Zauważył, że modele wykładniczego (eksponencjalnego) wzrostu, choć eleganckie matematycznie, nie odzwierciedlają rzeczywistości – żadna populacja nie może rosnąć w nieskończoność. Wpadł on wtedy na pewien pomysł - wprowadził do równania "hamulec" w postaci czynnika konkurencji. Gdy populacja jest mała, może się rozwijać niemal swobodnie, ale gdy zbliża się do pojemności środowiska, wzrost zwalnia. Równanie [1] (równania zamieszczam na pierwszym obrazku, bo nie mogę ich wpisać w edytorze w LaTeX jak normalny człowiek, tylko muszę kombinować).
Wiele lat później, w latach siedemdziesiątych XX wieku biolog Robert May przekształcił tę ideę w dyskretne odwzorowanie, które dzisiaj znamy jako odwzorowanie logistyczne - równanie [2]. Dla niewtajemniczonych, "dyskretne" w matematyce nie oznacza czegoś nie rzucającego się w oczy - oznacza zaś proces nieciągły, krokowy, którego następny krok zależy od poprzedniego. Tak, jak w równaniu [2] gdzie lewa strona to stan krok dalej od prawej. Matematyka dyskretna to cały zestaw działów matematyki zajmujących się procesami opartymi o zbiory przeliczalne. Nie będę wnikał głębiej, ale dość wiedzieć, że te maszyny, którymi się posługujemy, smartfony, komputery, działają właśnie dzięki zasadom określonym przez matematykę dyskretną.
Wracając jednak do wzoru Maya - zmienna x w kroku poprzedzającym reprezentuje populację w danym momencie (jako ułamek maksymalnej możliwej, arbitralnie przyjętej populacji), r to parametr wzrostu – kombinacja współczynnika urodzeń i śmiertelności. Gdy r jest małe, populacja po prostu wymiera. Gdy jest większe, ale nie za duże, ustala się na stabilnym poziomie. Ale gdy r przekracza pewne magiczne wartości... wtedy zaczyna się jazda.
Anatomia chaosu
Aby zrozumieć, co się dzieje, stwórzmy sobie diagram bifurkacyjny (drugi obrazek) – odwzorowanie logistyczne, które pokazuje długoterminowe zachowanie systemu w zależności od parametru r. Proces tworzenia takiego diagramu jest prosty: dla każdej wartości r startujemy z dowolną populacją początkową, iterujemy (powtarzamy krok po kroku) równanie setki razy, czekamy aż system się "ustabilizuje", a potem rysujemy punkty reprezentujące wartości, które nam z równania wyszły.
Na początku, gdy r jest mniejsze od 1, widzimy pustą przestrzeń – populacja po prostu wymiera i dąży do 0. Gdy r przekracza 1, pojawia się pojedyncza linia reprezentująca stabilny punkt stały. System znalazł swoją równowagę. Ale przy r równym 3 dzieje się coś nieoczekiwanego – linia się rozdziela.
To pierwszy moment zaskoczenia: bifurkacja (czyli rozdzielenie - tylko tak mądrzej). System nie może już zdecydować się na jedną wartość i zaczyna oscylować między dwoma. Jeszcze nic niezwykłego, równania mogą mieć więcej, niż jedno rozwiązanie, to wiemy ze szkoły, choć fakt, że populacja rośnie i maleje w regularnym cyklu, jakby nie mogła znaleźć sobie miejsca jest nieco niepokojący. Ale to dopiero początek.
Gdy r rośnie dalej, następuje kolejna bifurkacja przy około 3.45. Dwie linie stają się czterema – system oscyluje teraz między czterema wartościami. Potem przy około 3.54 mamy osiem wartości, przy 3.56 szesnaście, i tak dalej. To jest słynna kaskada podwajania okresu – jeden z najciekawszych przykładów drogi do chaosu.
Próg 3.57
W okolicach r = 3.56995 dzieje się coś naprawdę dramatycznego. Regularne wzorce nagle znikają, zastąpione przez pozornie przypadkowe zachowanie. To jest próg chaosu – moment, w którym system traci wszelką przewidywalność w długiej perspektywie. Populacja skacze chaotycznie, nigdy nie powtarzając dokładnie tego samego wzorca.
Ale chaos nie oznacza całkowitego braku struktury. Gdy patrzymy na gęstość punktów w chaotycznym reżimie, odkrywamy, że mają one określony rozkład. Dla r = 4 ten rozkład można nawet dokładnie obliczyć matematycznie – to krzywa w kształcie odwróconej litery U, która pokazuje, że niektóre wartości populacji są bardziej prawdopodobne niż inne.
Co więcej, system wykazuje właściwość zwaną przejściowością topologiczną. Oznacza to, że można znaleźć warunki początkowe, dla których orbita systemu przejdzie arbitralnie blisko każdego punktu w dozwolonym obszarze. To matematyczny sposób powiedzenia, że chaos jest rzeczywiście wszędzie.
Wyspy stabilności
Jednym z najbardziej zaskakujących odkryć było to, że nawet w chaotycznym reżimie istnieją małe "wyspy stabilności". Około r = 3.83 system nagle wraca do regularnego zachowania, oscylując między trzema wartościami.
Gdy powiększymy diagram bifurkacyjny, odkrywamy jedną z najciekawszych właściwości odwzorowania logistycznego: samopodobieństwo. Małe fragmenty diagramu wyglądają jak pomniejszone kopie całości. To jest typowa cecha fraktali – struktur, które wyglądają podobnie na każdej skali.
Ta samopodobność nie jest przypadkowa. Wynika z praw matematycznych, które zostały odkryte przez fizyka Mitchella Feigenbauma w latach 70. Feigenbaum zauważył, że odstępy między kolejnymi bifurkacjami zmniejszają się w określonym tempie, opisywanym przez uniwersalną stałą delta = 4.669201609... Ta stała, znana dzisiaj jako stała Feigenbauma, pojawia się w zupełnie różnych systemach chaotycznych – od obwodów elektrycznych po reakcje chemiczne. I o niej może kiedy napiszę coś więcej.
Zbiór Cantora
O zbiorze Cantora może się również kiedyś jeszcze rozpiszę, tu będzie tylko wzmianka.
Gdy r przekracza 4, odwzorowanie logistyczne pokazuje swoją prawdziwą, chaotyczną naturę. Większość punktów startowych prowadzi do orbit, które uciekają do nieskończoności. Ale te punkty, które zostają w przedziale od 0 do 1, tworzą niezwykłą strukturę zwaną zbiorem Cantora.
Zbiór Cantora powstaje przez iteracyjne usuwanie środkowych trzecich części z przedziałów. Zaczynamy od odcinka jednostkowego usuwamy środkową jedną trzecią, zostają nam więc dwa odcinki. Z każdego z nich znowu usuwamy środkową trzecią, i tak dalej. W granicy (nieskończoności) otrzymujemy zbiór, który jest nigdzie gęsty (ma "dziury" wszędzie), ale jednocześnie nieprzeliczalny – zawiera więcej punktów niż liczby naturalne.
To jest struktura, w której "żyje" chaos dla r > 4. Chaotyczne orbity mogą ten zbiór eksplorować w nieskończenie skomplikowany sposób.
Związek z Mandelbrotem
Jednym z najpiękniejszych odkryć było to, że odwzorowanie logistyczne jest ściśle związane z najsłynniejszym chyba fraktalem świata – zbiorem Mandelbrota. Przez odpowiednią transformację współrzędnych można pokazać, że iteracja jednego równania jest równoważna iteracji drugiego.
Oznacza to, że główny "korpus" zbioru Mandelbrota zawiera w sobie całą dynamikę odwzorowania logistycznego. Wszystkie te bifurkacje, podwajanie okresu, chaotyczne regiony i wyspy stabilności – wszystko to jest tam, w geometrii zbioru Mandelbrota.
I co dalej?
Dalej jest całe piękno matematyki, groźne, czasem przytłaczające, ale fascynujące. Tutaj tylko liznęliśmy nieco po wierzchu.
Odwzorowanie logistyczne stało się jednym z najważniejszych przykładów w teorii chaosu. Pokazało, że deterministyczne, niby przewidywalne, systemy mogą wykazywać nieprzewidywalne zachowanie, że proste równania mogą generować nieskończenie skomplikowane wzorce, i że chaos ma swoją własną, głęboką strukturę matematyczną.
Matematyka nie jest tylko abstrakcyjną grą, ale językiem, którym natura opisuje swoje tajemnice. A my ten język jedynie odczytujemy, bo, cytując Benoit Mandelbrota: "Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka, ani błyskawica nie porusza się po linii prostej".
@ataxbras fraktale to widać nawet w drzewach. A tego gifa to dostrzegam w spojrzeniu z góry na linię brzegową gdy są fale. Ostatnio trafiłem na film od Veritasium na YT. Jak dla mnie to na 100% żyjemy w symulacji
Tytuł to trochę żart, bo chodzi o odchudzenie osłon ablacyjnych i zastąpienie ich polem magnetycznym (a właściwie indukowaną osłoną elektromagnetyczną). Ten system ma dużą przyszłość, bo płaszcz plazmowy można dodatkowo kształtować, wpływając na właściwości aerodynamiczne.
@myoniwy Och, badania nad tym trwają od lat sześćdziesiątych. Modyfikować można zarówno komponentem magnetycznym, jak i elektrycznym. Ale wymaga to mocy obliczeniowych, z jednej strony by móc reagować w czasie bliskim rzeczywistego, a z drugiej by móc symulować dynamicznie konieczne zmiany natężeń pól. Stąd precyzyjne sterowanie tym zjawiskiem stało się możliwe dopiero niedawno (to moja działka w pewnym stopniu - zajmowałem się tym od strony właśnie symulacji).
Z początku chciałem to przywołać jako argument w wątku o trzech nierozwiązanych problemach fizyki, ale zasługuje to na odrębny wpis.
Istnieją problemy, które są trudne, bądź o których wiemy, że są nierozwiązywalne.
Wielu z Was od razu pomyśli o jakiś problemach z kategorii pomiędzy fizyką kwantową i ezoteryką. I to jest błąd.
Zapewne pamiętacie z czasów szkolnych sposób na rysowanie elipsy. Trzy ołówki/patyki i sznurek. Dwa wbijamy w piasek, sznurek ma mieć długość większą, niż ta pomiędzy wbitymi. Trzecim wiedziemy tak, by sznurek był napięty. I voila - jest elipsa.
To teraz trzebaby umieć policzyć jej obwód, to pewnie banał, jak w innych figurach geometrycznych. Coś, pomnożyć przez coś, jakieś PI i po kłopocie...?
No kurde nie. Nie ma takiego wzoru, który możnaby wyrazić w funkcjach elementarnych. Jest wzór, który zasadza się na całkach eliptycznych drugiego stopnia, ale jest nieredukowalny do funkcji elementarnych (można to udowodnić korzystając z twierdzenia Liouville'a). Co więcej, obliczenie tych całek musi być numeryczne, więc zawsze jest błąd precyzji tychże.
Czy można z tym żyć? No można, ale co to za życie. Dość pomyśleć, że taki Sławosz pomykał po orbicie eliptycznej. Że też się gość nie bał kumulacji błędu operacji zmiennoprzecinkowych .
Reasumując, rzeczywistość bywa tajemnicza i nieprzewidywalna dużo bliżej nas, niż sie wydaje.
#nauka #matematyka #ciekawostki
P.S.1: Przypadkiem szczególnym jest, gdy ogniska elipsy są tożsame, D1=D2. Wtedy mamy okrąg. I to jedyny przypadek, w którym można wyliczyć obwód używając funkcji elementarnych. Też nie możemy tego zrobić z praktycznie dowolną dokładnośćią, bo liczba PI ssie.
P.S.2: To mój ulubiony przykład. Innym jest banalne na pozór odwzorowanie logistyczne. Może o nim kiedyś napiszę. Ale jest tego sporo więcej.
Pierwsza kwestia dotyczy jednego z najdonioślejszych pytań we współczesnej fizyce – czym właściwie jest czas, gdy próbujemy połączyć ogólną teorię względności (opisującą grawitację) z mechaniką kwantową. A właściwie, czym rzeczywiście jest czas w jakimkolwiek ujęciu. Czy czas jest po prostu oddzielnym parametrem tła, według którego wszystko się dzieje? A może czas jest czymś dynamicznym, zmieniającym się razem z przestrzenią i materią? Istnieją też postulaty, wedle których czas w ogóle nie istnieje fundamentalnie – jest zjawiskiem powstającym z innych, głębszych procesów zachodzących we wszechświecie.
2. Eksperyment SAGE z neutrino i galem
Problem jest z pozoru prosty - dlaczego eksperyment SAGE (polegający na wychwytywaniu neutrin przez gal) daje wyniki inne, niż przewidywane – otrzymuje się tylko 75% oczekiwanej ilości germanu. Ten problem nie dotyczy filozofii fizyki, lecz konkretnego, mierzalnego zjawiska: eksperymentatorzy bardzo dokładnie wiedzą, czego się spodziewają, ale wyniki nie zgadzają się z teorią. Powód deficytu nie jest znany, a kolejne eksperymenty wykluczyły jedynie proponowane wyjaśnienia.
3. Dlaczego metal rośnie włosy?
Ten problem jest z pozoru równie banalny, jak poprzedni. Lepiej, jest makroskopowy i obserwowany globalnie, nie tylko przez fizyków w super wypasionych laboratoriach, ale przez elektryków i elektroników (może @myoniwy ma jakieś doświadczenia z gąszczem włosków :D). Niektóre metale, jak cyna, cynk, antymon, itp. potrafią spontanicznie "zapuścić włosy/wąsy"? Chodzi tu o zjawisko powstawania drobnych, cienkich włosków (whiskers) wyrastających z powierzchni metali. Problem jest bardzo praktyczny – takie włoski mogą powodować zwarcia w urządzeniach elektrycznych (i je powodują), a na ten moment nie ma dobrego wyjaśnienia, dlaczego tak się dzieje.
podobno dobrze chroni przed nimi dodatek ołowiu do cyny którą sie to lutuje, ale z uwagi na szkodliwość dla pracowników fabryk z tego zrezygnowano. Kiedy nowa elektronika zaczęła mieć problemy przez włoski wrócono do skromnej domieszki ołowiu (bodajże 2%)
@redve Niestety mamy RoHS. Więc elektronika konsumencka w EU musi być lead-free. W zastosowaniach szczególnych (wojsko, telekomunikacja) dozwolone jest używanie domieszki ołowiu. Ale cała reszta musi być RoHS-compliant.
Więc nie wrócono, w każdym razie nic o tym nie wiem.
Ja zawsze używam cyny z ołowiem, żeby uniknąć problemów (jest ich więcej, bo to nie tylko włoski, ale i częstrze zimne luty). No ale ja to robię dla siebie.
Na zdjęciu z Hubble’a jasne, "kolczaste" gwiazdy to obiekty z naszej Drogi Mlecznej w gwiazdozbiorze Perseusza. Głównym obiektem jest jednak UGC 2885 – olbrzymia galaktyka spiralna oddalona o 232 mln lat świetlnych o średnicy ok. 800 tys. lat świetlnych (Droga Mleczna ma 100 tysięcy).
Nadzwyczajne norniki Powszechnie spotykany na większości terytorium Europy nornik zwyczajny (Microtus arvalis) osiąga maksymalnie 12 cm długości, jednak jakiś czas temu zaobserwowano, że osobniki zamieszkujące wyspy są przeciętnie większe niż osobniki z kontynentu. Norniki zwyczajne z Orkadów i z wyspy Guernsey w archipelagu Wysp Normandzkich osiągają długość ciała przekraczającą 13 cm, a największy odnotowany dotąd osobnik mierzył bez ogona 13,6 cm.
Dlaczego norniki z wysp są takie duże? Ma to najpewniej związek z tym, że na wyspach nie mają tylu naturalnych wrogów, co ich krewniacy z kontynentu. Mogąc żyć we względnym spokoju, rosną większe – bo selekcja naturalna nie musi już u nich premiować mniejszych rozmiarów ciała, żeby zwiększyć ich szanse na przetrwanie.
Norniki zamieszkujące wyspy mają też przeciętnie mniej liczne potomstwo niż norniki z kontynentu, żyją dłużej od nich i w mniejszym zakresie wykazują instynktowny strach przed drapieżnikami. To cechy, które często rozwijają się w populacjach izolowanych na wyspach.
