Kodek DIY
https://www.youtube.com/watch?v=2D2Bn-AnXjw
W skrócie - gość stworzył lekki kodek audio. Wielu to robiło, ja też (dawno temu). Ale tacy ludzie potrzebują promocji, bo wyważają na nowo już otwarte drzwi, z tym że w kreatywny sposób. Ponadto, takie materiały uczą podstaw, które z kolei umożliwiają zrozumienie bardziej złożonych mechanizmów (w tym przypadku kompresji danych).
#technologia #ciekawostki #matematyka #informatyka
lubię jego kanał
Zaloguj się aby komentować
Jak działa generowanie wideo?
https://www.youtube.com/watch?v=iv-5mZ_9CPY
Szczegółowe, ale raczej dla większości zrozumiałe, wyjaśnienie w zasadzie banalnego generowania obrazów i wideo przy użyciu modeli dyfuzyjnych - https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_model . Wyjaśnia jednocześnie powiązania tych modeli z fizyką i przestrzeniami fazowymi w matematyce.
#ciekawostki #nauka #matematyka
Zaloguj się aby komentować
@Deykun Jeśli greckie litery to dla ciebie znaki runiczne…
U mnie na studiach doktor na wykładzie z analizy matematycznej stwierdził, że żadne oznaczenie nie powinno się powtarzać w obrębie jednego wykładu i na drugiej godzinie stawiał jakieś gotyckie literki XD
Już nic nie pamiętam a mam inż zrobionego na polibudzie gliwickiej wydział mat-fiz.
Zaloguj się aby komentować
Ale sobie właśnie sam łeb rozjebałem.
Transformacja Fouriera to tak naprawdę działanie polegające na szukaniu konkretnych częstotliwości, które odjęte od fali bazowej znacząco jej nie zmienią
#matematyka
@maximilianan Dołączę się do @pierdonauta_kosmolony i zapytam o tę falę bazową. Bo z Twojego wpisu wynika, że coś zrozumiałeś, ale niekoniecznie poprawnie.
Poza tym, odejmowanie niektórych częstotliwości (szczególnie np. wysokich harmonicznych) nie zmienia znacząco rezultatu, ale odjęcie głównych już tak.
@ataxbras @pierdonauta_kosmolony sprostowanie: ja to "widzę" pod kątem fali dźwiękowej - sumy poszczególnych częstotliwości. Transformacja podaje nam wartości tych częstotliwości.
Jeśli odejmiemy częstotliwość X to dźwięk ją straci, ale dalej będzie "tym samym" dźwiękiem.
@ataxbras i jak coś to wiem czym jest FT, po prostu teraz wpadłem na takie intuicyjnie uproszczenie
wytrzezwiej i pomysl jeszcze raz
@maximilianan w ten sam sposob dziala FTiR? Pytam bo jestem lajkonikiem w kwestii fizyki a pracowalem sporo z FTiR. Ale tylko jako badanie próbek. Żadnego maintanance sprzętu i grzebania w metodach, wiec nie musiałem wiedzieć nic wiecej.
No i metoda analizy jest dość nudna xD
Zaloguj się aby komentować
Marzenie o matematycznej unifikacji
Matematyka to dosyć szeroka dziedzina. Tak szeroka, jak tylko możemy ją objąć, bo w praktyce nie ma ona granic. Jest również wewnętrznie różnorodna, acz różnice pomiędzy jej działami są często ogromne. Mimo jednak swej wewnętrznej różnorodności, wielu marzy o znalezieniu wspólnego mianownika dla wszystkich tych dziedzin, wspólnych fundamentów, pierwotnego wzorca, języka unifikacji. To się po prostu czuje, czasem widzi symptomy tych powiązań, ale brakuje pełnego zrozumienia współzależności.
W 2024 roku zespół dziewięciu matematyków pod przewodnictwem Dennisa Gaitsgory'ego i Sama Raskina dokonał czegoś, co wielu uważa za jeden z najważniejszych przełomów w matematyce ostatnich dekad. Udowodnili geometryczną hipotezę Langlandsa w pracy rozciągającej się na ponad 800 stron w pięciu artykułach. To osiągnięcie, które zajęło trzy dekady, stanowi kluczowy krok w kierunku tego, co Edward Frenkel nazywa wielką zunifikowaną teorią matematyki. Cała ta historia zaczęła się od 17-stronicowego odręcznego listu, który Robert Langlands napisał do André Weila w 1967 roku, mając zaledwie 30 lat i wizję, że pozornie niepowiązane obszary matematyki są w rzeczywistości głęboko ze sobą połączone.
Program Langlandsa działa jak matematyczny kamień z Rosetty, łącząc trzy fundamentalne domeny: teorię liczb (zajmującą się liczbami pierwszymi i arytmetyką), geometrię (opisującą kształty i powierzchnie) oraz ciała funkcji (uogólnienia równań wielomianowych). Geometryczna hipoteza Langlandsa ustanawia korespondencję między dwoma matematycznymi światami - stroną spektralną, która zawiera reprezentacje grup fundamentalnych powierzchni Riemanna, oraz stroną automorficzną z jej specjalnymi obiektami geometrycznymi zwanymi "eigensheaves" (nie wiem, jak to będzie w polskiej nomenklaturze topologicznej - snop równania własnego brzmi bardzo odlotowo). To trochę jak z transformacją Fouriera, która rozkłada złożone fale dźwiękowe na składowe częstotliwości, tylko że tutaj mamy do czynienia z o wiele bardziej skomplikowanymi falami geometrycznymi.
Dowód wymagał stworzenia niezwykle wyrafinowanego aparatu matematycznego, który zespół budował przez dziesięciolecia zgodnie z filozofią "podnoszącego się morza" Alexandra Grothendiecka. Czyli budowania aparatu teoretycznego od dołu, od szczegółu do ogółu.
Dlaczego ten dowód nazywany jest krokiem w kierunku wielkiej zunifikowanej teorii matematyki? Odpowiedź tkwi w tym, że pokazuje on fundamentalną jedność pozornie niezwiązanych konceptów matematycznych. Geometryczna hipoteza Langlandsa dostarcza matematycznego słownika, który pozwala badaczom atakować problemy w tym obszarze matematyki, który jest najkorzystniejszy dla danego zagadnienia. To nie tylko abstrakcyjna teoria - ma połączenia z fizyką teoretyczną, szczególnie z teorią pola kwantowego i teorią strun, a także potencjalne zastosowania w informatyce kwantowej i kryptografii.
Choć ten dowód stanowi monumentalne osiągnięcie, mimo że daje nadzieję na pełną unifikację, to obnaża również mnogość zagadnień, które trzeba jeszcze opisać, by zbliżyć się do tego celu.
Świeży artykuł w Nature (bo te wszystkie papiery przeczytał już ktoś poza autorami, przede wszystkim recenzenci
Pierwsza część dowodu - https://arxiv.org/abs/2405.03599 (resztę znajdziecie sobie, jak przebrniecie przez ten wstęp)
#matematyka #ciekawostki #nauka #dzikamatematyka
@ataxbras Daj znać jak im wyjdzie, że jednak Hipoteza Continuum ma jakąś odpowiedź. Jakieś 20 lat temu na studiach się założyłem że znajomym. ( ͡° ͜ʖ ͡°)
...tylko od jakichś 15 lat nie utrzymuję z nim kontaktu, i nie mam numeru, ale to już osobny, i raczej trywialny problem.
@LondoMollari Jeszcze trochę poczekasz. Bo program Langlandsa akurat nie obejmuje tego zakresu. A poza tym, niezależność hipotezy continuum od aksjomatyki ZF plus aksjomatu wyboru (on się zawsze musi wcisnąć
Zaloguj się aby komentować
Dzika matematyka
https://www.youtube.com/watch?v=sbU_cGZ9B74
Wczoraj, uraczyłem Was tym wpisem o odwzorowaniu logistycznym. Najwidoczniej, #niemraodfizy , Sabina, zgapiła pomysł i opublikowała 10 ciekawostek matematycznych na swoim kanale. Włączając w to odwzorowanie logistyczne.
No plagiat jak nic
Na te matematyczne ciekawostki zakładam tag #dzikamatematyka, żeby można było blokować to nudziarstwo.
#matematyka #nauka #ciekawostki #dzikamatematyka
jestem pierwszym obserwującym
@ataxbras napraw tag panie kolego
@Foofy_Shmoofer A co z nim nie tak?
Sabina wrzuca merytoryczne materiały zrobione na odpierdol, żeby trochę rozrzedzić swoje antynaukowe narzekania.
Bardzo lubiłem ten kanał, ale sądzę, że jest teraz na równi pochyłej w kierunku antynaukowego griftera. Zobaczymy.
@mordaJakZiemniaczek Wybacz, ale to ten dupek, Professor Dave, prezentuje właśnie antynaukowe i ideologiczne podejście. Obejrzałem jego materiał do momentu, jak próbował przyczepić Sabinie wspieranie kontranaukowości amerykańskiej prawej strony i pokazywał flagi ze swastyką. A dalej oglądał nie będę, bo gość jest radykałem na jakiejś tam stronie pojebanego, politycznego spektrum.
Zaloguj się aby komentować
Zaloguj się aby komentować
Chaos ab ordine - odwzorowanie logistyczne
Z mojej perspektywy ta historia zaczęła się w zamierzchłych czasach, cztery dekady temu. To portal starych ludzi, więc niektórzy z tutejszych bywalców spędzali wtedy czas na rzucaniu kamieniami w brontozaury pod czujnym i pamiętliwym okiem przyszłej premier Kopacz, inni próbowali ujeżdżać welociraptory, jeszcze inni łowili amonity. A ja? Wrzaski latających pterodaktyli mnie przerażały, więc czytałem sobie przy tłuszczowym kaganku magiczne znaki wydrapane na łupkowych płytach.
Jedną z książek, które straszliwie mnie wtenczas skrzywiły i spowodowały, że już nigdy nie spojrzałem na matematykę tak, jak przedtem, była ta o temacie dzisiejszej opowieści.
Wszystko zaczyna się niewinnie. Od pytania o to, jak opisać rozwój populacji. W XIX wieku belgijski matematyk Pierre François Verhulst próbował zrozumieć, jak rzeczywiście rosną populacje w świecie ograniczonych zasobów. Zauważył, że modele wykładniczego (eksponencjalnego) wzrostu, choć eleganckie matematycznie, nie odzwierciedlają rzeczywistości – żadna populacja nie może rosnąć w nieskończoność. Wpadł on wtedy na pewien pomysł - wprowadził do równania "hamulec" w postaci czynnika konkurencji. Gdy populacja jest mała, może się rozwijać niemal swobodnie, ale gdy zbliża się do pojemności środowiska, wzrost zwalnia. Równanie [1] (równania zamieszczam na pierwszym obrazku, bo nie mogę ich wpisać w edytorze w LaTeX jak normalny człowiek, tylko muszę kombinować).
Wiele lat później, w latach siedemdziesiątych XX wieku biolog Robert May przekształcił tę ideę w dyskretne odwzorowanie, które dzisiaj znamy jako odwzorowanie logistyczne - równanie [2]. Dla niewtajemniczonych, "dyskretne" w matematyce nie oznacza czegoś nie rzucającego się w oczy - oznacza zaś proces nieciągły, krokowy, którego następny krok zależy od poprzedniego. Tak, jak w równaniu [2] gdzie lewa strona to stan krok dalej od prawej. Matematyka dyskretna to cały zestaw działów matematyki zajmujących się procesami opartymi o zbiory przeliczalne. Nie będę wnikał głębiej, ale dość wiedzieć, że te maszyny, którymi się posługujemy, smartfony, komputery, działają właśnie dzięki zasadom określonym przez matematykę dyskretną.
Wracając jednak do wzoru Maya - zmienna x w kroku poprzedzającym reprezentuje populację w danym momencie (jako ułamek maksymalnej możliwej, arbitralnie przyjętej populacji), r to parametr wzrostu – kombinacja współczynnika urodzeń i śmiertelności. Gdy r jest małe, populacja po prostu wymiera. Gdy jest większe, ale nie za duże, ustala się na stabilnym poziomie. Ale gdy r przekracza pewne magiczne wartości... wtedy zaczyna się jazda.
Anatomia chaosu
Aby zrozumieć, co się dzieje, stwórzmy sobie diagram bifurkacyjny (drugi obrazek) – odwzorowanie logistyczne, które pokazuje długoterminowe zachowanie systemu w zależności od parametru r. Proces tworzenia takiego diagramu jest prosty: dla każdej wartości r startujemy z dowolną populacją początkową, iterujemy (powtarzamy krok po kroku) równanie setki razy, czekamy aż system się "ustabilizuje", a potem rysujemy punkty reprezentujące wartości, które nam z równania wyszły.
Na początku, gdy r jest mniejsze od 1, widzimy pustą przestrzeń – populacja po prostu wymiera i dąży do 0. Gdy r przekracza 1, pojawia się pojedyncza linia reprezentująca stabilny punkt stały. System znalazł swoją równowagę. Ale przy r równym 3 dzieje się coś nieoczekiwanego – linia się rozdziela.
To pierwszy moment zaskoczenia: bifurkacja (czyli rozdzielenie - tylko tak mądrzej). System nie może już zdecydować się na jedną wartość i zaczyna oscylować między dwoma. Jeszcze nic niezwykłego, równania mogą mieć więcej, niż jedno rozwiązanie, to wiemy ze szkoły, choć fakt, że populacja rośnie i maleje w regularnym cyklu, jakby nie mogła znaleźć sobie miejsca jest nieco niepokojący. Ale to dopiero początek.
Gdy r rośnie dalej, następuje kolejna bifurkacja przy około 3.45. Dwie linie stają się czterema – system oscyluje teraz między czterema wartościami. Potem przy około 3.54 mamy osiem wartości, przy 3.56 szesnaście, i tak dalej. To jest słynna kaskada podwajania okresu – jeden z najciekawszych przykładów drogi do chaosu.
Próg 3.57
W okolicach r = 3.56995 dzieje się coś naprawdę dramatycznego. Regularne wzorce nagle znikają, zastąpione przez pozornie przypadkowe zachowanie. To jest próg chaosu – moment, w którym system traci wszelką przewidywalność w długiej perspektywie. Populacja skacze chaotycznie, nigdy nie powtarzając dokładnie tego samego wzorca.
Ale chaos nie oznacza całkowitego braku struktury. Gdy patrzymy na gęstość punktów w chaotycznym reżimie, odkrywamy, że mają one określony rozkład. Dla r = 4 ten rozkład można nawet dokładnie obliczyć matematycznie – to krzywa w kształcie odwróconej litery U, która pokazuje, że niektóre wartości populacji są bardziej prawdopodobne niż inne.
Co więcej, system wykazuje właściwość zwaną przejściowością topologiczną. Oznacza to, że można znaleźć warunki początkowe, dla których orbita systemu przejdzie arbitralnie blisko każdego punktu w dozwolonym obszarze. To matematyczny sposób powiedzenia, że chaos jest rzeczywiście wszędzie.
Wyspy stabilności
Jednym z najbardziej zaskakujących odkryć było to, że nawet w chaotycznym reżimie istnieją małe "wyspy stabilności". Około r = 3.83 system nagle wraca do regularnego zachowania, oscylując między trzema wartościami.
Te wyspy nie są przypadkowe. Wynikają z głębokiej twierdzenia Szarkowskiego, które mówi, że jeśli system ma cykl o okresie 3, to może mieć cykle o każdym innym okresie. "Okres 3 implikuje chaos" – to jedna z najsłynniejszych fraz w teorii chaosu .
Samopodobieństwo
Gdy powiększymy diagram bifurkacyjny, odkrywamy jedną z najciekawszych właściwości odwzorowania logistycznego: samopodobieństwo. Małe fragmenty diagramu wyglądają jak pomniejszone kopie całości. To jest typowa cecha fraktali – struktur, które wyglądają podobnie na każdej skali.
Ta samopodobność nie jest przypadkowa. Wynika z praw matematycznych, które zostały odkryte przez fizyka Mitchella Feigenbauma w latach 70. Feigenbaum zauważył, że odstępy między kolejnymi bifurkacjami zmniejszają się w określonym tempie, opisywanym przez uniwersalną stałą delta = 4.669201609... Ta stała, znana dzisiaj jako stała Feigenbauma, pojawia się w zupełnie różnych systemach chaotycznych – od obwodów elektrycznych po reakcje chemiczne. I o niej może kiedy napiszę coś więcej.
Zbiór Cantora
O zbiorze Cantora może się również kiedyś jeszcze rozpiszę, tu będzie tylko wzmianka.
Gdy r przekracza 4, odwzorowanie logistyczne pokazuje swoją prawdziwą, chaotyczną naturę. Większość punktów startowych prowadzi do orbit, które uciekają do nieskończoności. Ale te punkty, które zostają w przedziale od 0 do 1, tworzą niezwykłą strukturę zwaną zbiorem Cantora.
Zbiór Cantora powstaje przez iteracyjne usuwanie środkowych trzecich części z przedziałów. Zaczynamy od odcinka jednostkowego usuwamy środkową jedną trzecią, zostają nam więc dwa odcinki. Z każdego z nich znowu usuwamy środkową trzecią, i tak dalej. W granicy (nieskończoności) otrzymujemy zbiór, który jest nigdzie gęsty (ma "dziury" wszędzie), ale jednocześnie nieprzeliczalny – zawiera więcej punktów niż liczby naturalne.
To jest struktura, w której "żyje" chaos dla r > 4. Chaotyczne orbity mogą ten zbiór eksplorować w nieskończenie skomplikowany sposób.
Związek z Mandelbrotem
Jednym z najpiękniejszych odkryć było to, że odwzorowanie logistyczne jest ściśle związane z najsłynniejszym chyba fraktalem świata – zbiorem Mandelbrota. Przez odpowiednią transformację współrzędnych można pokazać, że iteracja jednego równania jest równoważna iteracji drugiego.
Oznacza to, że główny "korpus" zbioru Mandelbrota zawiera w sobie całą dynamikę odwzorowania logistycznego. Wszystkie te bifurkacje, podwajanie okresu, chaotyczne regiony i wyspy stabilności – wszystko to jest tam, w geometrii zbioru Mandelbrota.
I co dalej?
Dalej jest całe piękno matematyki, groźne, czasem przytłaczające, ale fascynujące. Tutaj tylko liznęliśmy nieco po wierzchu.
Odwzorowanie logistyczne stało się jednym z najważniejszych przykładów w teorii chaosu. Pokazało, że deterministyczne, niby przewidywalne, systemy mogą wykazywać nieprzewidywalne zachowanie, że proste równania mogą generować nieskończenie skomplikowane wzorce, i że chaos ma swoją własną, głęboką strukturę matematyczną.
Matematyka nie jest tylko abstrakcyjną grą, ale językiem, którym natura opisuje swoje tajemnice. A my ten język jedynie odczytujemy, bo, cytując Benoit Mandelbrota: "Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka, ani błyskawica nie porusza się po linii prostej".
Wpis z wiki po angielsku (lepszy) - https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
Wpis z wiki po polsku (marny) - https://pl.wikipedia.org/wiki/Odwzorowanie_logistyczne
Równanie logistyczne (polski) - https://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=mbm&part=Ch2
#matematyka #nauka #ciekawostki
@ataxbras fraktale to widać nawet w drzewach. A tego gifa to dostrzegam w spojrzeniu z góry na linię brzegową gdy są fale. Ostatnio trafiłem na film od Veritasium na YT. Jak dla mnie to na 100% żyjemy w symulacji
@InstytutKonserwacjiMaryliRodowicz Och, za szybko przechodzisz do konkluzji - istnienie fraktali w naturze wynika wprost ze struktury rzeczywistości. Tu każdy stan zależy od poprzedniego. Nic więc dziwnego, że takie struktury się pojawiają. Poczytaj wspomnianego Mandelbrota - The Fractal Geometry of Nature.
Żeby stwierdzić prawdziwość hipotezy symulacji trzeba sporo więcej :D.
@ataxbras będziesz pisał o matematyce więcej to mnie wołaj. Albo taga jakiegoś zrób do śledzenia.
@totengott I zawołam i zrobię tag - może #ciekawostkimatematyczne? Choć to banał. Albo #dzikamatematyka :D. Będzie pod następnym wpisem.
@ataxbras dzięki. #dzikamatematyka Dodane do obserwowanych.
taktyczny komentarz
Zaloguj się aby komentować
Obwód elipsy
https://www.chrisrackauckas.com/assets/Papers/ChrisRackauckas-The_Circumference_of_an_Ellipse.pdf
Z początku chciałem to przywołać jako argument w wątku o trzech nierozwiązanych problemach fizyki, ale zasługuje to na odrębny wpis.
Istnieją problemy, które są trudne, bądź o których wiemy, że są nierozwiązywalne.
Wielu z Was od razu pomyśli o jakiś problemach z kategorii pomiędzy fizyką kwantową i ezoteryką. I to jest błąd.
Zapewne pamiętacie z czasów szkolnych sposób na rysowanie elipsy. Trzy ołówki/patyki i sznurek. Dwa wbijamy w piasek, sznurek ma mieć długość większą, niż ta pomiędzy wbitymi. Trzecim wiedziemy tak, by sznurek był napięty. I voila - jest elipsa.
To teraz trzebaby umieć policzyć jej obwód, to pewnie banał, jak w innych figurach geometrycznych. Coś, pomnożyć przez coś, jakieś PI i po kłopocie...?
No kurde nie. Nie ma takiego wzoru, który możnaby wyrazić w funkcjach elementarnych. Jest wzór, który zasadza się na całkach eliptycznych drugiego stopnia, ale jest nieredukowalny do funkcji elementarnych (można to udowodnić korzystając z twierdzenia Liouville'a). Co więcej, obliczenie tych całek musi być numeryczne, więc zawsze jest błąd precyzji tychże.
Czy można z tym żyć? No można, ale co to za życie. Dość pomyśleć, że taki Sławosz pomykał po orbicie eliptycznej. Że też się gość nie bał kumulacji błędu operacji zmiennoprzecinkowych
Reasumując, rzeczywistość bywa tajemnicza i nieprzewidywalna dużo bliżej nas, niż sie wydaje.
#nauka #matematyka #ciekawostki
P.S.1: Przypadkiem szczególnym jest, gdy ogniska elipsy są tożsame, D1=D2. Wtedy mamy okrąg. I to jedyny przypadek, w którym można wyliczyć obwód używając funkcji elementarnych. Też nie możemy tego zrobić z praktycznie dowolną dokładnośćią, bo liczba PI ssie.
P.S.2: To mój ulubiony przykład. Innym jest banalne na pozór odwzorowanie logistyczne. Może o nim kiedyś napiszę. Ale jest tego sporo więcej.
Zaloguj się aby komentować
Humor matematyków
Swoją drogą polecam książkę. Jestem w połowie, ale z każdą chwilą jak do niej wracam czuję się jak idiota
#humor #matematyka
https://lubimyczytac.pl/ksiazka/4959691/przygody-matematyka-autobiografia
@Tagujto i namówił
Zaloguj się aby komentować
@entropy_ #HeHeHermetycznie
Zaloguj się aby komentować
@LovelyPL z czego 11 minut to gadanie o dzwonkach, kciukach, subach i reklamach sponsorów, a potem 1,5 minuty na rozwiązanie prostego przykładu xD
@LovelyPL
> "zrozum w 5 min"
> film trwa 12 min
Zaloguj się aby komentować
Kartezjusz kontra spinory
Kartezjusza zna pewnie każdy i każdy czytał jego Discours de la méthode. W każdym razie tak by było w idealnym świecie materialistów. Na szczęście, prace tego bluźniercy były na indeksie ksiąg zakazanych aż do 1966 roku, dzięki czemu wiele duszyczek nie poznało jego ohydnych poglądów i osiągnięć. Zupełnie nie mogę zrozumieć, dlaczego w Polsce używa się kartezjańskiego (sic!) układu współrzędnych. Myślę, że powinien zostać zakazany (tu emotka szczerzenia zębów, bo emotki spadły z rowerka).
Jego obrzydliwe pomysły niestety przetrwały, zatruwając umysły biednych matematyków (i nie tylko nich). Do tego stopnia, że opublikowali niedawno rozwiązanie trzystuosiemdziesięcioletniego problemu przez tegoż heretyka sformułowanego. Problem dotyczy wzajemnego stosunku promieni stykających się ze sobą okręgów na płaszczyźnie. Do tego roku nie było znane rozwiązanie generalizujące dla dowolnej liczby okręgów. A teraz już jest znane, dzięki autorom przywołanej pracy i spinorom.
Czymże są spinory? Że to czarci pomiot, to chyba oczywiste, tym bardziej, że wywodzi się z opisu zjawisk kwantowych (tak, spin). Spinory to takie coś podobnego do wektorów, z tym że w przestrzeni zespolonej i zachowujące się odmiennie niż ich normalni bracia, bo po obrocie układu współrzędnych o 360 stopni zmieniają znak. I dopiero przy obrocie o 720 stopni wracają do pierwotnego stanu (wektor obrócony o 360 stopni jest tym samym wektorem). Najłatwiej wyobrazić je sobie rozmieszczone na wstędze Möbiusa prostopadle do niej. O, tak jak na tym obrazku z wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor#/media/File:Spinor_on_the_circle.png .
Artykuł popularny - https://interestingengineering.com/innovation/mathematicians-solve-380-year-old-puzzle
#matematyka #fizyka #ciekawostki #nauka
Zaloguj się aby komentować
Zaloguj się aby komentować
Dlaczego interesują nas pracowite bobry?
Dla Polaka to chyba, bóbr k⁎⁎wa , oczywiste. Są też inne podejścia, ja to prezentowane przez znanego włoskiego tenora, Enrico Palazzo .
Ale można też inaczej...
Dwa dni temu, drugiego lipca, udowodniono istnienie piątej liczby kroków w problemie pracowitego bobra. Wynosi ona 47,176,870. Tyle maksymalnie kroków wykona maszyna Turinga operująca na pięciu stanach wejściowych, zanim się zatrzyma (i jeśli się zatrzyma). Być może poznamy w przyszłości szóstą liczbę kroków, natomiast na siódmą są małe szanse (ilość kombinacji przyrasta lawinowo przekraczając możliwości jakiejkolwiek komputacji). Sama funkcja, do której stosują się te wartości, jest niepoliczalna. Co wiąże się wprost z problemem stopu sformułowanym przez Turinga - https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_stopu . No chyba, że znajdziemy jakieś prawo rozkładu tych wartości w inny sposób.
Artykuł popularny o tym odkryciu wraz z obszernym wyjaśnieniem - https://www.scientificamerican.com/article/new-math-breakthrough-reveals-the-fifth-busiest-beaver/
Strona projeku Busy Beaver Challenge z ogłoszeniem dowodu - https://discuss.bbchallenge.org/t/july-2nd-2024-we-have-proved-bb-5-47-176-870/237/1
Opis samej funkcji na polskiej wiki - https://pl.wikipedia.org/wiki/Pracowity_bóbr
#matematyka #ciekawostki #technologia #nauka
Zaloguj się aby komentować
Wreszcie coś z mojej ulubionej dziedziny fizyki - i Waszej z pewnością też. A właściwie nie z fizyki, a z matematyki, ale bardzo konkretnie powiązane z dynamiką płynów (przez równania Naviera-Stokesa i Eulera).
Sabina, ta #niemraodfizy , przywołała tę pracę: https://arxiv.org/pdf/2503.01800 w swoim programie . Nazachwycała się nad nią okrutnie, poniekąd w dużej części słusznie.
Praca odnosi się do szóstego problemu Hilberta, dla tych, którzy nie pamiętają, chodzi o danie matematycznych podstaw aksjomatyki w fizyce. W szczególności zaś o opracowanie matematycznie rygorystycznego połączenia skal od mikro, przez mezo do obiektów makroskopowych. Nie daje rozwiązania całego problemu - jedynie jego części.
Rzeczywiście, pokazanie że modelowane prawa fizyki w różnych skalach mają ze sobą ścisły i przekładalny związek jest wielkim osiągnięciem. Jeśli ta praca zostanie zweryfikowana, to będzie można wyeliminować pokutujące w fizyce, powszechnie przyjęte domysły (poparte obserwacją) i zastąpić je pewnymi regułami (aksjomatyka).
Nie jest to jeszcze praca bez wad - jest ograniczona do 2 i 3 wymiarów, nie adresuje problemu płynów gęstych (Bolzmann tam nie pasuje), torus jest mało wygodnym sposobem obrazowania (topologicznie) i sporo innych. Ale jeśli jądro tej pracy jest poprawne, to reszta problemów jest rozwiązywalna.
Mnie, osobiście, brakuje tutaj związania kinematyki (Orr-Sommerfeld), a szczególnie opisu niestabilności (Burnett). Ale nie można mieć na raz wszystkiego.
#fizyka #matematyka #nauka #niemraodfizy
Acha, i robię streszczenie z Perplexity Labs, ale muszę je dobrze sprawdzić - pojawi się wtenczas w komentarzu. Robię to w ten sposób, bo czytać i trawić będę ją jeszcze co najmniej tydzień, by zdobyć jako takie pojęcie o użytych narzędziach. A skrót pewnie nie będzie strasznie zły.
Perplexity dało całkiem dobre podsumowanie, sam jestem w szoku. No ale ta gałąź matematyki nie jest nowa i jest sporo punktów odniesienia.
Szósty Problem Hilberta: Wyprowadzenie Równań Płynów za Pomocą Teorii Kinetycznej Boltzmanna
Ten przełomowy artykuł autorstwa Yu Denga, Zahera Haniego i Xiao Ma stanowi wielki przełom w fizyce matematycznej, twierdząc, że rozwiązuje kluczowy aspekt jednego z najbardziej wymagających problemów postawionych przez Davida Hilberta w 1900 roku. Praca ściśle wyprowadza fundamentalne równania mechaniki płynów bezpośrednio z praw Newtona rządzących mikroskopijnymi układami cząstek, kompletując to, co zostało nazwane "programem Hilberta" w teorii kinetycznej.
Kontekst Historyczny i Szósty Problem Hilberta
W 1900 roku David Hilbert przedstawił swoją słynną listę 23 problemów matematycznych, aby wyznaczyć kierunki badań w nowym stuleciu. Szósty problem wzywał do "aksjomatycznego traktowania fizyki" - konkretnie, matematycznych podstaw teorii fizycznych. Hilbert nakreślił dwa konkretne cele: po pierwsze, aksjomatyczne podstawy teorii prawdopodobieństwa (rozwiązane na początku XX wieku), a po drugie, rygorystyczne wyprowadzenie mechaniki kontinuum z teorii atomowej poprzez równania kinetyczne Boltzmanna.
Jak opisał to Hilbert, wyzwaniem było "matematyczne rozwinięcie procesów granicznych, tam jedynie wskazanych, które prowadzą od poglądu atomistycznego do praw ruchu kontinuów". Ten program wymagał połączenia trzech poziomów opisu:
Poziom Mikroskopowy: Prawa Newtona rządzące oddziaływaniami poszczególnych cząstek
Poziom Mezoskopowy: Równanie kinetyczne Boltzmanna opisujące statystyczne zachowanie cząstek
Poziom Makroskopowy: Równania mechaniki płynów (Eulera, Naviera-Stokesa) rządzące przepływem kontinuum
Wyprowadzenie obejmuje dwa krytyczne procesy graniczne:
Granica Boltzmanna-Grada (Newton do Boltzmanna)
Ten pierwszy krok wyprowadza równanie Boltzmanna z dynamiki cząstek typu twardych kul poprzez przyjęcie N → ∞ (liczba cząstek) i ε → 0 (średnica cząstki) przy zachowaniu relacji skalowania Nε^(d-1) = α stała, gdzie d jest wymiarem przestrzennym. To skalowanie, odkryte przez Grada, zapewnia, że cząstki oddziałują ze skończenie wieloma innymi na jednostkę czasu.
Granica Hydrodynamiczna (Boltzmann do Równań Płynów)
Drugi krok wyprowadza równania płynów z równania Boltzmanna poprzez przyjęcie współczynnika kolizji α → ∞, odpowiadającego drodze swobodnej zbliżającej się do zera.
Główną przeszkodą historyczną było ustanowienie pierwszej granicy dla długich czasów. Chociaż Lanford udowodnił wyprowadzenie dla krótkich czasów w 1975 roku, rozszerzenie tego na dowolne skale czasowe - niezbędne do połączenia z granicą hydrodynamiczną - pozostało nieuchwytne przez prawie 50 lat.
[ciąg dalszy w następnych komentarzach]
Główne Wyniki i Twierdzenia
Artykuł przedstawia trzy fundamentalne twierdzenia, które łącznie kończą program Hilberta:
Twierdzenie 1: Wyprowadzenie Równania Boltzmanna dla Długich Czasów
Opierając się na poprzednich pracach autorów, to twierdzenie rygorystycznie wyprowadza równanie Boltzmanna na obszarach periodycznych (2D i 3D tory) dla arbitralnie długich czasów, pod warunkiem istnienia rozwiązania Boltzmanna. Funkcja korelacji jednej cząstki f₁(t,x,v) zbiega do rozwiązania Boltzmanna n(t,x,v) z błędem ograniczonym przez ε^θ dla pewnej dodatniej stałej θ.
Twierdzenie 2: Wyprowadzenie Nieściśliwego Układu Naviera-Stokesa-Fouriera
Poprzez iterowany proces graniczny (najpierw granica Boltzmanna-Grada, potem granica hydrodynamiczna), to twierdzenie wyprowadza nieściśliwy układ Naviera-Stokesa-Fouriera z dynamiki cząstek typu twardych kul. Makroskopowe pola prędkości i gęstości wyłaniają się jako granice statystyczne empirycznych wielkości cząstkowych.
Twierdzenie 3: Wyprowadzenie Ściśliwego Równania Eulera
Podobnie, to twierdzenie wyprowadza ściśliwe równania Eulera rządzące gęstością, prędkością i temperaturą z tego samego mikroskopowego układu cząstek.
Innowacje Techniczne i Metody Matematyczne
Dowód wymaga wyrafinowanego aparatu matematycznego, z kilkoma kluczowymi innowacjami do radzenia sobie z ustawieniem periodycznym:
Chaos Molekularny i Funkcje Korelacji
Wyprowadzenie opiera się na kontrolowaniu s-cząstkowych funkcji korelacji fs(t), które mierzą zależność statystyczną między cząstkami. Hipoteza chaosu molekularnego (Stosszahlansatz) zakłada, że prędkości cząstek stają się nieskorelowane przed kolizjami, łamiąc symetrię odwrócenia czasu i umożliwiając wyłonienie się nieodwracalnego zachowania z odwracalnej dynamiki.
Nowe Wyzwania w Obszarach Periodycznych
Praca na torach zamiast w przestrzeni nieskończonej wprowadza fundamentalne komplikacje:
Podwójne Kolizje: W przeciwieństwie do przestrzeni nieskończonej, cząstki mogą zderzać się wielokrotnie z powodu periodyczności. Autorzy pokazują, że takie scenariusze wymagają prędkości względnych prawie równoległych do wektorów sieciowych, ograniczając je do zbiorów o mierze zerowej, które zapewniają wystarczające wzmocnienie objętości w oszacowaniach.
Nieograniczona Liczba Kolizji: Ustalona liczba cząstek może przechodzić arbitralnie wiele kolizji na torach, w przeciwieństwie do przypadku ograniczonego w przestrzeni euklidesowej. To wymagało całkowicie nowych podejść do kontrolowania prawdopodobieństw kolizji.
Długie Wiązania i Molekuły Elementarne
Kluczową innowacją jest koncepcja "długich wiązań" - zdarzeń kolizyjnych oddzielonych skalami czasowymi O(1) zamiast krótkich czasów kolizji O(ε). Autorzy pokazują, że molekuły zawierające długie wiązania mają znacznie poprawiony "nadmiar" (potęgi ε zyskane w oszacowaniach), co jest istotne dla zamknięcia analizy matematycznej.
Dowód wprowadza nowe klasy "molekuł elementarnych" (molekuły {333A}- i {334T}-) i wyrafinowane algorytmy cięcia do dekompozycji złożonych historii kolizji na zarządzalne komponenty.
Zaawansowana Analiza Kombinatoryczna
Techniczny rdzeń obejmuje skomplikowaną analizę kombinatoryczną "molekuł historii kolizji" - struktur grafowych reprezentujących sekwencje oddziaływań cząstek. Autorzy opracowują skomplikowane algorytmy cięcia, które systematycznie redukują złożone wzorce kolizji do przypadków elementarnych o znanych ograniczeniach.
[Koniec streszczenia]
Znaczenie Fizyczne i Matematyczne
Rozwiązanie Paradoksu Nieodwracalności Czasowej
Ta praca dostarcza rygorystyczne matematyczne wyjaśnienie tego, jak nieodwracalne zachowanie makroskopowe (opisane przez twierdzenie H Boltzmanna) wyłania się z odwracalnej mikroskopowej dynamiki Newtona. Ważność dla długich czasów obejmuje pełny czas życia rozwiązań Boltzmanna w pobliżu równowagi.
Kontrola Ilościowa
W przeciwieństwie do poprzednich wyników ograniczonych do krótkich czasów lub małych rozwiązań, ta praca dostarcza ilościowe ograniczenia ważne dla przedziałów czasowych o długości O((log|log ε|)^(1/2)). Chociaż to ograniczenie wynika z limitacji technicznych, reprezentuje duży postęp w stosunku do poprzednich wyników dla krótkich czasów.
Podstawa dla Zastosowań Inżynierskich
Matematyczne uzasadnienie równań płynów wzmacnia zaufanie do ich użycia w zastosowaniach inżynierskich od projektowania samolotów po przewidywanie pogody. Chociaż praktyczne równania pozostają niezmienione, ich rygorystyczne podstawy z pierwszych zasad reprezentują fundamentalny postęp w fizyce matematycznej.
Implikacje i Przyszłe Kierunki
Ten przełom otwiera kilka kierunków badawczych:
Wyższe Wymiary: Obecny dowód jest ograniczony do d ∈ {2,3}, ale metody mogą rozszerzyć się na wyższe wymiary z dodatkowym rozwojem technicznym
Inne Układy Fizyczne: Techniki mogą mieć zastosowanie do wyprowadzania innych teorii kontinuum z dynamiki mikroskopowej
Ulepszone Skale Czasowe: Przyszłe prace mogą rozszerzyć ważne przedziały czasowe poza obecne ograniczenia logarytmiczne
Praca demonstruje również moc łączenia zaawansowanych metod kombinatorycznych z klasyczną analizą w fizyce matematycznej, potencjalnie inspirując podobne podejścia do innych fundamentalnych problemów w tej dziedzinie.
Podsumowanie
Ten artykuł reprezentuje niezwykłe osiągnięcie w fizyce matematycznej, dostarczając pierwsze rygorystyczne wyprowadzenie fundamentalnych równań płynów z praw Newtona poprzez teorię kinetyczną Boltzmanna dla długich czasów. Przez ukończenie programu Hilberta w teorii kinetycznej, przerzuca mostek nad stuletnią luką między fizyką mikroskopową a makroskopową, oferując zarówno satysfakcję teoretyczną, jak i praktyczne zaufanie do podstaw matematycznych leżących u podstaw znacznej części nowoczesnej inżynierii i fizyki.
Wyrafinowane techniki matematyczne opracowane dla tego dowodu, szczególnie innowacyjne podejścia do radzenia sobie z periodycznymi warunkami brzegowymi i nieograniczonymi sekwencjami kolizji, reprezentują znaczące postępy metodologiczne, które mogą okazać się wartościowe przy ataku na inne wyzwaniowe problemy w fizyce matematycznej i teorii kinetycznej.
[ciąg dalszy w następnym komentarzu]
@w0jmar Wołam.
Tak z ciekawości, czym się na co dzień zajmujesz? W sensie zawód.
@dolitd Ach, różnymi rzeczami z pogranicza fizyki, matematyki i IT. R&D.
Zaloguj się aby komentować
Prace naukowe to setki jak nie tysiące stron badań, liczb, dowodów i hipotez, prawda? No nie zawsze. Bywaja i takie
By nie było - nie umniejszam pracy. Zapewne potrzebowali dużo wiedzy i wysiłku by dojść do tego wyniku. A że sam wynik udowadnia faszywość tezy Eulera to przedstawianie jak do tego doszli nie jest potrzebne
#nauka #matematyka
@Ragnarokk I tutaj mamy świetny przykład, jak działa metoda naukowa. Hipotezy można udowadniać na wiele sposobów, za każdym razem je uprawdopodabniając. Do udowodnienia fałszywości wystarczy zwykle jeden fakt przeczący hipotezie (i wpisujący się w jej schemat falsyfikowalności). Dokładnie jak tutaj.
Można tu przywołać reakcję Einsteina na "Hundred Authors against Einstein" - ponoć powiedział, że gdyby się mylił, wystarczyłby jeden...
przedstawianie jak do tego doszli nie jest potrzebne
Ale by nie zaszkodziło...
@Mor Bardzo możliwe że napisali gdzieś indziej o tym. Czy tam po prostu opublikowal kod który im to znalazł.
Komentarz usunięty
Obecnie robi się to jeszcze krócej.
Jakiś anon pisze w komentarzu: "ale pi⁎⁎⁎⁎lą". I koniec dowodu - sprawa zamknięta.
Zaloguj się aby komentować
Dr Michał Obidziński, mgr inż. Nina Bażela i dr hab. Mateusz Hohol, prof. UJ z Mathematical Cognition and Learning Lab Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych UJ zbadali związki pamięci długotrwałej ze zdolnościami matematycznymi. Wyniki zespołu opublikowane w czasopiśmie ”Cognition” sugerują,...
Zlikwidujmy maturę, problem się rozwiąże. Następnie zlikwidujmy studia, dyplomy od razu po liceum, bo tam też jest coś wymagane. A jak już tak idziemy, to po co liceum, człowiek się tak stresuje i też ma matematykę i w ogóle. A podstawówka to tak tylko dla zabawy, jak ktoś chce to niech chodzi. Później dajmy ludziom po 20k/mc za nic nierobienie i wszyscy będą szczęśliwi. Proste.
@Deykun ameba
@UncleFester proszę nie dyskryminować we wpisie
@Deykun Fazy czy częstotliwości?
@Deykun WARSZAWSKIE LICEUM Z DYSKALKULIĄ
Z polskim też mu nie idzie, może po prostu powinien zaakceptować, że jest debilem, zamiast to wypierać.
Zaloguj się aby komentować
