#matematyka #magicthegathering #heheszkinauka & źródło

Chaos ab ordine - odwzorowanie logistyczne

Z mojej perspektywy ta historia zaczęła się w zamierzchłych czasach, cztery dekady temu. To portal starych ludzi, więc niektórzy z tutejszych bywalców spędzali wtedy czas na rzucaniu kamieniami w brontozaury pod czujnym i pamiętliwym okiem przyszłej premier Kopacz, inni próbowali ujeżdżać welociraptory, jeszcze inni łowili amonity. A ja? Wrzaski latających pterodaktyli mnie przerażały, więc czytałem sobie przy tłuszczowym kaganku magiczne znaki wydrapane na łupkowych płytach.

Jedną z książek, które straszliwie mnie wtenczas skrzywiły i spowodowały, że już nigdy nie spojrzałem na matematykę tak, jak przedtem, była ta o temacie dzisiejszej opowieści.

Wszystko zaczyna się niewinnie. Od pytania o to, jak opisać rozwój populacji. W XIX wieku belgijski matematyk Pierre François Verhulst próbował zrozumieć, jak rzeczywiście rosną populacje w świecie ograniczonych zasobów. Zauważył, że modele wykładniczego (eksponencjalnego) wzrostu, choć eleganckie matematycznie, nie odzwierciedlają rzeczywistości – żadna populacja nie może rosnąć w nieskończoność. Wpadł on wtedy na pewien pomysł - wprowadził do równania "hamulec" w postaci czynnika konkurencji. Gdy populacja jest mała, może się rozwijać niemal swobodnie, ale gdy zbliża się do pojemności środowiska, wzrost zwalnia. Równanie [1] (równania zamieszczam na pierwszym obrazku, bo nie mogę ich wpisać w edytorze w LaTeX jak normalny człowiek, tylko muszę kombinować).

Wiele lat później, w latach siedemdziesiątych XX wieku biolog Robert May przekształcił tę ideę w dyskretne odwzorowanie, które dzisiaj znamy jako odwzorowanie logistyczne - równanie [2]. Dla niewtajemniczonych, "dyskretne" w matematyce nie oznacza czegoś nie rzucającego się w oczy - oznacza zaś proces nieciągły, krokowy, którego następny krok zależy od poprzedniego. Tak, jak w równaniu [2] gdzie lewa strona to stan krok dalej od prawej. Matematyka dyskretna to cały zestaw działów matematyki zajmujących się procesami opartymi o zbiory przeliczalne. Nie będę wnikał głębiej, ale dość wiedzieć, że te maszyny, którymi się posługujemy, smartfony, komputery, działają właśnie dzięki zasadom określonym przez matematykę dyskretną.

Wracając jednak do wzoru Maya - zmienna x w kroku poprzedzającym reprezentuje populację w danym momencie (jako ułamek maksymalnej możliwej, arbitralnie przyjętej populacji), r to parametr wzrostu – kombinacja współczynnika urodzeń i śmiertelności. Gdy r jest małe, populacja po prostu wymiera. Gdy jest większe, ale nie za duże, ustala się na stabilnym poziomie. Ale gdy r przekracza pewne magiczne wartości... wtedy zaczyna się jazda.

Anatomia chaosu

Aby zrozumieć, co się dzieje, stwórzmy sobie diagram bifurkacyjny (drugi obrazek) – odwzorowanie logistyczne, które pokazuje długoterminowe zachowanie systemu w zależności od parametru r. Proces tworzenia takiego diagramu jest prosty: dla każdej wartości r startujemy z dowolną populacją początkową, iterujemy (powtarzamy krok po kroku) równanie setki razy, czekamy aż system się "ustabilizuje", a potem rysujemy punkty reprezentujące wartości, które nam z równania wyszły.

Na początku, gdy r jest mniejsze od 1, widzimy pustą przestrzeń – populacja po prostu wymiera i dąży do 0. Gdy r przekracza 1, pojawia się pojedyncza linia reprezentująca stabilny punkt stały. System znalazł swoją równowagę. Ale przy r równym 3 dzieje się coś nieoczekiwanego – linia się rozdziela.

To pierwszy moment zaskoczenia: bifurkacja (czyli rozdzielenie - tylko tak mądrzej). System nie może już zdecydować się na jedną wartość i zaczyna oscylować między dwoma. Jeszcze nic niezwykłego, równania mogą mieć więcej, niż jedno rozwiązanie, to wiemy ze szkoły, choć fakt, że populacja rośnie i maleje w regularnym cyklu, jakby nie mogła znaleźć sobie miejsca jest nieco niepokojący. Ale to dopiero początek.

Gdy r rośnie dalej, następuje kolejna bifurkacja przy około 3.45. Dwie linie stają się czterema – system oscyluje teraz między czterema wartościami. Potem przy około 3.54 mamy osiem wartości, przy 3.56 szesnaście, i tak dalej. To jest słynna kaskada podwajania okresu – jeden z najciekawszych przykładów drogi do chaosu.

Próg 3.57

W okolicach r = 3.56995 dzieje się coś naprawdę dramatycznego. Regularne wzorce nagle znikają, zastąpione przez pozornie przypadkowe zachowanie. To jest próg chaosu – moment, w którym system traci wszelką przewidywalność w długiej perspektywie. Populacja skacze chaotycznie, nigdy nie powtarzając dokładnie tego samego wzorca.

Ale chaos nie oznacza całkowitego braku struktury. Gdy patrzymy na gęstość punktów w chaotycznym reżimie, odkrywamy, że mają one określony rozkład. Dla r = 4 ten rozkład można nawet dokładnie obliczyć matematycznie – to krzywa w kształcie odwróconej litery U, która pokazuje, że niektóre wartości populacji są bardziej prawdopodobne niż inne.

Co więcej, system wykazuje właściwość zwaną przejściowością topologiczną. Oznacza to, że można znaleźć warunki początkowe, dla których orbita systemu przejdzie arbitralnie blisko każdego punktu w dozwolonym obszarze. To matematyczny sposób powiedzenia, że chaos jest rzeczywiście wszędzie.

Wyspy stabilności

Jednym z najbardziej zaskakujących odkryć było to, że nawet w chaotycznym reżimie istnieją małe "wyspy stabilności". Około r = 3.83 system nagle wraca do regularnego zachowania, oscylując między trzema wartościami.

Te wyspy nie są przypadkowe. Wynikają z głębokiej twierdzenia Szarkowskiego, które mówi, że jeśli system ma cykl o okresie 3, to może mieć cykle o każdym innym okresie. "Okres 3 implikuje chaos" – to jedna z najsłynniejszych fraz w teorii chaosu .

Samopodobieństwo

Gdy powiększymy diagram bifurkacyjny, odkrywamy jedną z najciekawszych właściwości odwzorowania logistycznego: samopodobieństwo. Małe fragmenty diagramu wyglądają jak pomniejszone kopie całości. To jest typowa cecha fraktali – struktur, które wyglądają podobnie na każdej skali.

Ta samopodobność nie jest przypadkowa. Wynika z praw matematycznych, które zostały odkryte przez fizyka Mitchella Feigenbauma w latach 70. Feigenbaum zauważył, że odstępy między kolejnymi bifurkacjami zmniejszają się w określonym tempie, opisywanym przez uniwersalną stałą delta = 4.669201609... Ta stała, znana dzisiaj jako stała Feigenbauma, pojawia się w zupełnie różnych systemach chaotycznych – od obwodów elektrycznych po reakcje chemiczne. I o niej może kiedy napiszę coś więcej.

Zbiór Cantora

O zbiorze Cantora może się również kiedyś jeszcze rozpiszę, tu będzie tylko wzmianka.

Gdy r przekracza 4, odwzorowanie logistyczne pokazuje swoją prawdziwą, chaotyczną naturę. Większość punktów startowych prowadzi do orbit, które uciekają do nieskończoności. Ale te punkty, które zostają w przedziale od 0 do 1, tworzą niezwykłą strukturę zwaną zbiorem Cantora.

Zbiór Cantora powstaje przez iteracyjne usuwanie środkowych trzecich części z przedziałów. Zaczynamy od odcinka jednostkowego usuwamy środkową jedną trzecią, zostają nam więc dwa odcinki. Z każdego z nich znowu usuwamy środkową trzecią, i tak dalej. W granicy (nieskończoności) otrzymujemy zbiór, który jest nigdzie gęsty (ma "dziury" wszędzie), ale jednocześnie nieprzeliczalny – zawiera więcej punktów niż liczby naturalne.

To jest struktura, w której "żyje" chaos dla r > 4. Chaotyczne orbity mogą ten zbiór eksplorować w nieskończenie skomplikowany sposób.

Związek z Mandelbrotem

Jednym z najpiękniejszych odkryć było to, że odwzorowanie logistyczne jest ściśle związane z najsłynniejszym chyba fraktalem świata – zbiorem Mandelbrota. Przez odpowiednią transformację współrzędnych można pokazać, że iteracja jednego równania jest równoważna iteracji drugiego.

Oznacza to, że główny "korpus" zbioru Mandelbrota zawiera w sobie całą dynamikę odwzorowania logistycznego. Wszystkie te bifurkacje, podwajanie okresu, chaotyczne regiony i wyspy stabilności – wszystko to jest tam, w geometrii zbioru Mandelbrota.

I co dalej?

Dalej jest całe piękno matematyki, groźne, czasem przytłaczające, ale fascynujące. Tutaj tylko liznęliśmy nieco po wierzchu.

Odwzorowanie logistyczne stało się jednym z najważniejszych przykładów w teorii chaosu. Pokazało, że deterministyczne, niby przewidywalne, systemy mogą wykazywać nieprzewidywalne zachowanie, że proste równania mogą generować nieskończenie skomplikowane wzorce, i że chaos ma swoją własną, głęboką strukturę matematyczną.

Matematyka nie jest tylko abstrakcyjną grą, ale językiem, którym natura opisuje swoje tajemnice. A my ten język jedynie odczytujemy, bo, cytując Benoit Mandelbrota: "Chmury nie są kulami, góry nie są stożkami, linie brzegowe nie są okręgami, a kora nie jest gładka, ani błyskawica nie porusza się po linii prostej".

Wpis z wiki po angielsku (lepszy) - https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

Wpis z wiki po polsku (marny) - https://pl.wikipedia.org/wiki/Odwzorowanie_logistyczne

Równanie logistyczne (polski) - https://mst.mimuw.edu.pl/lecture.php?lecture=mbm&part=Ch2

#matematyka #nauka #ciekawostki

Obwód elipsy

https://www.chrisrackauckas.com/assets/Papers/ChrisRackauckas-The_Circumference_of_an_Ellipse.pdf

Z początku chciałem to przywołać jako argument w wątku o trzech nierozwiązanych problemach fizyki, ale zasługuje to na odrębny wpis.

Istnieją problemy, które są trudne, bądź o których wiemy, że są nierozwiązywalne.

Wielu z Was od razu pomyśli o jakiś problemach z kategorii pomiędzy fizyką kwantową i ezoteryką. I to jest błąd.

Zapewne pamiętacie z czasów szkolnych sposób na rysowanie elipsy. Trzy ołówki/patyki i sznurek. Dwa wbijamy w piasek, sznurek ma mieć długość większą, niż ta pomiędzy wbitymi. Trzecim wiedziemy tak, by sznurek był napięty. I voila - jest elipsa.

To teraz trzebaby umieć policzyć jej obwód, to pewnie banał, jak w innych figurach geometrycznych. Coś, pomnożyć przez coś, jakieś PI i po kłopocie...?

No kurde nie. Nie ma takiego wzoru, który możnaby wyrazić w funkcjach elementarnych. Jest wzór, który zasadza się na całkach eliptycznych drugiego stopnia, ale jest nieredukowalny do funkcji elementarnych (można to udowodnić korzystając z twierdzenia Liouville'a). Co więcej, obliczenie tych całek musi być numeryczne, więc zawsze jest błąd precyzji tychże.

Czy można z tym żyć? No można, ale co to za życie. Dość pomyśleć, że taki Sławosz pomykał po orbicie eliptycznej. Że też się gość nie bał kumulacji błędu operacji zmiennoprzecinkowych .

Reasumując, rzeczywistość bywa tajemnicza i nieprzewidywalna dużo bliżej nas, niż sie wydaje.

#nauka #matematyka #ciekawostki

P.S.1: Przypadkiem szczególnym jest, gdy ogniska elipsy są tożsame, D1=D2. Wtedy mamy okrąg. I to jedyny przypadek, w którym można wyliczyć obwód używając funkcji elementarnych. Też nie możemy tego zrobić z praktycznie dowolną dokładnośćią, bo liczba PI ssie.

P.S.2: To mój ulubiony przykład. Innym jest banalne na pozór odwzorowanie logistyczne. Może o nim kiedyś napiszę. Ale jest tego sporo więcej.

Humor matematyków

Swoją drogą polecam książkę. Jestem w połowie, ale z każdą chwilą jak do niej wracam czuję się jak idiota

#humor #matematyka

https://lubimyczytac.pl/ksiazka/4959691/przygody-matematyka-autobiografia

Czerstwy mem

#matematyka #memy

Rozbawiło mnie to

#heheszki #humorobrazkowy #matematyka

Kartezjusz kontra spinory

Kartezjusza zna pewnie każdy i każdy czytał jego Discours de la méthode. W każdym razie tak by było w idealnym świecie materialistów. Na szczęście, prace tego bluźniercy były na indeksie ksiąg zakazanych aż do 1966 roku, dzięki czemu wiele duszyczek nie poznało jego ohydnych poglądów i osiągnięć. Zupełnie nie mogę zrozumieć, dlaczego w Polsce używa się kartezjańskiego (sic!) układu współrzędnych. Myślę, że powinien zostać zakazany (tu emotka szczerzenia zębów, bo emotki spadły z rowerka).

Jego obrzydliwe pomysły niestety przetrwały, zatruwając umysły biednych matematyków (i nie tylko nich). Do tego stopnia, że opublikowali niedawno rozwiązanie trzystuosiemdziesięcioletniego problemu przez tegoż heretyka sformułowanego. Problem dotyczy wzajemnego stosunku promieni stykających się ze sobą okręgów na płaszczyźnie. Do tego roku nie było znane rozwiązanie generalizujące dla dowolnej liczby okręgów. A teraz już jest znane, dzięki autorom przywołanej pracy i spinorom.

Czymże są spinory? Że to czarci pomiot, to chyba oczywiste, tym bardziej, że wywodzi się z opisu zjawisk kwantowych (tak, spin). Spinory to takie coś podobnego do wektorów, z tym że w przestrzeni zespolonej i zachowujące się odmiennie niż ich normalni bracia, bo po obrocie układu współrzędnych o 360 stopni zmieniają znak. I dopiero przy obrocie o 720 stopni wracają do pierwotnego stanu (wektor obrócony o 360 stopni jest tym samym wektorem). Najłatwiej wyobrazić je sobie rozmieszczone na wstędze Möbiusa prostopadle do niej. O, tak jak na tym obrazku z wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor#/media/File:Spinor_on_the_circle.png .

Artykuł popularny - https://interestingengineering.com/innovation/mathematicians-solve-380-year-old-puzzle

Praca źródłowa

#matematyka #fizyka #ciekawostki #nauka

#matematyka #nieciekawostki & źródło

Dlaczego interesują nas pracowite bobry?

Dla Polaka to chyba, bóbr k⁎⁎wa , oczywiste. Są też inne podejścia, ja to prezentowane przez znanego włoskiego tenora, Enrico Palazzo .

Ale można też inaczej...

Dwa dni temu, drugiego lipca, udowodniono istnienie piątej liczby kroków w problemie pracowitego bobra. Wynosi ona 47,176,870. Tyle maksymalnie kroków wykona maszyna Turinga operująca na pięciu stanach wejściowych, zanim się zatrzyma (i jeśli się zatrzyma). Być może poznamy w przyszłości szóstą liczbę kroków, natomiast na siódmą są małe szanse (ilość kombinacji przyrasta lawinowo przekraczając możliwości jakiejkolwiek komputacji). Sama funkcja, do której stosują się te wartości, jest niepoliczalna. Co wiąże się wprost z problemem stopu sformułowanym przez Turinga - https://pl.wikipedia.org/wiki/Problem_stopu . No chyba, że znajdziemy jakieś prawo rozkładu tych wartości w inny sposób.

Artykuł popularny o tym odkryciu wraz z obszernym wyjaśnieniem - https://www.scientificamerican.com/article/new-math-breakthrough-reveals-the-fifth-busiest-beaver/

Strona projeku Busy Beaver Challenge z ogłoszeniem dowodu - https://discuss.bbchallenge.org/t/july-2nd-2024-we-have-proved-bb-5-47-176-870/237/1

Opis samej funkcji na polskiej wiki - https://pl.wikipedia.org/wiki/Pracowity_bóbr

#matematyka #ciekawostki #technologia #nauka

Wreszcie coś z mojej ulubionej dziedziny fizyki - i Waszej z pewnością też. A właściwie nie z fizyki, a z matematyki, ale bardzo konkretnie powiązane z dynamiką płynów (przez równania Naviera-Stokesa i Eulera).

Sabina, ta #niemraodfizy , przywołała tę pracę: https://arxiv.org/pdf/2503.01800 w swoim programie . Nazachwycała się nad nią okrutnie, poniekąd w dużej części słusznie.

Praca odnosi się do szóstego problemu Hilberta, dla tych, którzy nie pamiętają, chodzi o danie matematycznych podstaw aksjomatyki w fizyce. W szczególności zaś o opracowanie matematycznie rygorystycznego połączenia skal od mikro, przez mezo do obiektów makroskopowych. Nie daje rozwiązania całego problemu - jedynie jego części.

Rzeczywiście, pokazanie że modelowane prawa fizyki w różnych skalach mają ze sobą ścisły i przekładalny związek jest wielkim osiągnięciem. Jeśli ta praca zostanie zweryfikowana, to będzie można wyeliminować pokutujące w fizyce, powszechnie przyjęte domysły (poparte obserwacją) i zastąpić je pewnymi regułami (aksjomatyka).

Nie jest to jeszcze praca bez wad - jest ograniczona do 2 i 3 wymiarów, nie adresuje problemu płynów gęstych (Bolzmann tam nie pasuje), torus jest mało wygodnym sposobem obrazowania (topologicznie) i sporo innych. Ale jeśli jądro tej pracy jest poprawne, to reszta problemów jest rozwiązywalna.

Mnie, osobiście, brakuje tutaj związania kinematyki (Orr-Sommerfeld), a szczególnie opisu niestabilności (Burnett). Ale nie można mieć na raz wszystkiego.

#fizyka #matematyka #nauka #niemraodfizy

Acha, i robię streszczenie z Perplexity Labs, ale muszę je dobrze sprawdzić - pojawi się wtenczas w komentarzu. Robię to w ten sposób, bo czytać i trawić będę ją jeszcze co najmniej tydzień, by zdobyć jako takie pojęcie o użytych narzędziach. A skrót pewnie nie będzie strasznie zły.

Prace naukowe to setki jak nie tysiące stron badań, liczb, dowodów i hipotez, prawda? No nie zawsze. Bywaja i takie

By nie było - nie umniejszam pracy. Zapewne potrzebowali dużo wiedzy i wysiłku by dojść do tego wyniku. A że sam wynik udowadnia faszywość tezy Eulera to przedstawianie jak do tego doszli nie jest potrzebne

#nauka #matematyka

#dyskryminacja #matematyka #heheszkinauka #edukacja &źródło

https://www.sciencenews.org/article/magic-error-quantum-computing

Trochę magii na dziś.

To dosyć popularny, lub też popularyzatorski artykuł. Mówi on o tym, że tak zwane „magiczne stany” to klucz do stworzenia odpornego na błędy komputera kwantowego. Większość stanów kwantowych błyskawicznie poddaje się hałasowi i traci informacje, a bez nich nie można wykonywać obliczeń. „Magiczne stany” są jednak na tyle stabilne, że pozwalają na odporne na błędy operacje, nawet gdy środowisko robi się zbyt hałaśliwe. Dzięki nowym osiągnięciom w dziedzinie stanów magicznych, można wykonywać bardziej złożone obliczenia, bez konieczności zużywania całych stert dodatkowych qubitów.

A czym właściwie są te magiczne stany? I tu miałem małą zagwozdkę, jak to wytłumaczyć. Bo to dosyć prosty i podstawowy koncept (koncept, nie realizacja), ale wymaga jakiejś wiedzy na temat bramek kwantowych.

Ale spróbujmy. W przypadku komputerów kwantowych mamy dwa typy bramek. Bramki w sensie Clifforda, i bramki wyłącznie kwantowe (nieCliffordowe). O co chodzi? Pierwsze są symulowalne wydajnie na komputerach klasycznych. Czyli nie dają zysku z używania komputera kwantowego. Drugie zaś, nie są łatwo symulowalne i nie da się ich w prosty sposób użyć w systemach z korekcją błędów. Obejściem tutaj jest właśnie użycie tych magicznych stanów, które dają bazę/punkt odniesienia konieczny do tworzenia surogatów bramek nieCliffordowych przy pomocy bramek Cliffordowych. Ten punkt odniesienia to precyzyjnie spreparowany stan kwantowy. A dalej jest jeszcze destylacja stanów magicznych, żeby ograniczyć poziom szumów.

Pewnie moje tłumaczenie i tak nie wyszło zbyt klarowne, ale postarałem się na całe 30%

#fizyka #matematyka #technologia #nauka

Dlaczego nie mogę przejść przez każdy z tych mostów dokładnie raz? Czy jestem głupi?

https://www.reddit.com/r/mapporncirclejerk/comments/1lht7oz/why_cant_i_cross_each_of_these_bridges_exactly/

Śmieszny wątek.

#matematyka #heheszkinauka

( ͡° ͜ʖ ͡°)

#matematyka #heheszki #zagadka

Ustawa o liczbie pi z Indiany była projektem ustawy nr 246 z posiedzenia Zgromadzenia Ogólnego stanu Indiana w 1897 roku i jest jednym z najbardziej znanych przykładów prób ustanowienia prawdy matematycznej na drodze ustawodawczej. Pomimo swojej nazwy, głównym celem projektu była prezentacja metody kwadratury koła. Ustawa sugerowała niepoprawne wartości stałej matematycznej π, czyli stosunku obwodu koła do jego średnicy. Projekt ustawy został napisany przez lekarza i amatorskiego matematyka, jednak nigdy nie stał się prawem dzięki interwencji C. A. Waldo, profesora Uniwersytetu Purdue, który przypadkowo znajdował się w budynku legislatury w dniu głosowania.

[...]

Przybliżenie liczby π

Choć ustawa stała się znana jako „ustawa o liczbie pi”, jej treść w ogóle nie zawiera słowa „pi”. Goodwin najwyraźniej uważał stosunek obwodu koła do jego średnicy za sprawę drugorzędną wobec głównego celu, jakim było dokonanie kwadratury koła. Pod koniec sekcji 2 znajduje się następujący fragment:

"Ponadto ujawniony został stosunek cięciwy i łuku kąta dziewięćdziesięciu stopni, który wynosi siedem do ośmiu, a także stosunek przekątnej i jednego boku kwadratu, który wynosi dziesięć do siedmiu, co prowadzi do czwartego ważnego wniosku, że stosunek średnicy do obwodu wynosi pięć czwartych do czterech."

Innymi słowy: π = 4 ÷ 1,25 = 3,2

oraz √2 = 10 ÷ 7 ≈ 1,429.

[...]

Model koła Goodwina, opisany w sekcji 2 projektu ustawy, ma średnicę równą 10 i podany obwód wynoszący „32” (zamiast rzeczywistego ~31,4159); cięciwa kąta 90° ma według niego długość „7” (zamiast ~7,0710).

https://en.wikipedia.org/wiki/Indiana_pi_bill

#matematyka #edukacja #nauka #usa #ciekawostkihistoryczne

#ciekawostki #matematyka ale i #heheszki